Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh

 Ngày gửi bài: 05/08/2007 Số lượt đọc: 2959
Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định lý

1. Các diện tích hình vuông trên khung lưới
Đây là cách tính các diện tích của các hình vuông trên một khung lưới hình ô vuông, bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng trên hình bên) . Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính toán diện tích các hình vuông nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh định lý Pitago.
Dựng hình và kiểm tra 1. Bạn hãy mở file Sketch Squarefinder.gps. 2. Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình vuông này so với khung lưới. Chú ý: khi hình vuông màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì sẽ có một hình vuông lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như hình trên). Độ dài đoạn AB có thể là 1 số nguyên hoặc không phải là một số nguyên. 3. Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình vuông là khoảng 5 đơn vị vuông. Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình vuông của mình vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút Show Area Yellow Square trên màn hình để kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến đâu. Nếu diện tích hình vuông của bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột vào nút Hide Area Yellow Square và thử làm lại. (Hình vuông có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5. Tính toán này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24) Tìm hiểu thêm 1. – Bạn viết một biểu thức tính diện tích hình vuông nghiêng theo 2 số hạng a và b. - Gọi độ dài cạnh của hình vuông đó là c, và hãy viết lại biểu thức đó theo 3 số hạng a, b, c. - Làm tối giản biểu thức này. - So sánh xem hai biểu thức này có bằng nhau hay không? 2. Có một số hình vuông nghiêng có độ dài cạnh là 1 số nguyên. Hãy tìm một số hình như thế 3. Có thể tạo được hình vuông nghiêng trên khung lưới có diện tích bằng 3 không? 4. Liệu có thể tạo ra 1 hình vuông trên khung lưới có diện tích không phải là một số nguyên không? Hãy giả thích.
2. Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình ảnh
- Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì khó lý giải .Trong các cách chứng mình này- được gọi cách “cắt ra từng mảnh”, bạn sẽ bắt đầu từ một hình ảnh có các mảnh rời rạc, chúng là các mảnh được khớp lại với nhau theo 1 vế của định lý Pitago (như a²+b²). Bạn sẽ cắt các mảnh đó ra và sắp xếp lại chúng theo một vế khác của định lý (là c² ). - Việc sắp xếp các mảnh rời rạc này thì đơn giản, nhưng chưa đủ để chứng minh được định lý. Tuy nhiên, các cách làm này này có thể dẫn đến các cách chứng minh định lý nếu bạn có thể lý giải được tại sao lại làm như vậy. Cách dựng hình và kiểm tra - Mở file Pythgorean Puzzles.gsp . Xem các cách biểu diễn sau: 1. Hãy viết 2 biểu thức khác nhau để tính diện tích của một hình vuông có độ dài cạnh là a+b như hình bên dưới: + Một biểu thức biểu diễn theo 2 số hạng a và b: dt = (a+b)² =a² + b² - 2ab (1) + Một biểu thức khác viết theo 3 số hạng a,b,c, ta thấy: diện tích hình vuông này bằng diện tích hình vuông màu trắng (có cạnh là c) + diện tích của 4 tam giác vuông , nên suy ra: dt = c² + 2ab (2). Từ (1) và (2) ta có dt = c² + 2ab = a² + b² - 2ab. Thu gọn đẳng thức trên ta được c² = a² + b². Theo hình vẽ ta thấy rằng c là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là hai cạnh của tam giác vuông đó. Vậy đây cũng là một cách để chứng minh định lý Pitago.


2. Một biểu thức tính được diện tích hình vuông có cạnh là c : dt = c² . (3). - Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vuông này theo hai số hạng a, b: Theo hình vẽ ta thấy dt = diện tích hình vuông màu vàng +